Page 54 - 10_Matematik_ogretmenin

52 POLİNOMLAR

e
ax + =b 0 P(x) POLİNOMUNUN x -K İLE BÖLÜMÜNDEN
ax = −b KALANI BULMA
b  b  P(x) polinomunun (x -a) ile bölümünden kalanı bulmak için
n
x = − olur. Böylece P −   = K elde edilir.
a  a  P(x)=(x -a).B(x)+K(x) eşitliğinde x -a=0 alınıp x =a değeri
n
n
n
Burada ax+b polinomu birinci dereceden olduğundan ka- polinomda yerine yazılarak kalan bulunur.
lan sabit polinom olur.
p Örnek:
3
3
5
2
7
p Örnek: P(x)=x -3x -x +2x +1 polinomunun x -1 ile bölümünden
4
3
P(x)=2x -x +3x+2 polinomunun 2x-4 ile bölümünden ka- kalan aşağıdakilerden hangisidir?
2
2
2
2
2
lanı bulalım. A) x +2x-1 B) 2x -1 C) –x +x D) –x -x E) –x -1
YAYINEVİ
˜ Çözük: ˜ Çözük:
3
3
Bölüm polinomu B(x) ve kalan K olmak üzere, x - 1 = 0 ⇒ x = 1
2
2
3 2
3
3
P(x)=(2x-4).B(x)+K dır. P(x) = x. (x ) - 3x . x - x + 2x + 1
3
Burada 2x - 4 = 0 ⇒ x = 2 olursa P(2)=K olur. polinomda x = 1 değerini yerine yazarsak,
2
4
3
2
2
O halde P(2) = 2.2 -2 +3.2+2 = 32-8+6+2 = 32 olur. K(x) = x . 1 - 3x . 1 - 1 + 2x + 1
2
2
= x - 3x - 1 + 2x + 1
2
= x - x
p Örnek: olarak bulunur.
1 Doğru cevap C seçeneğidir.
P(x) = x − 3 x − 2 2 polinomu veriliyor.
2
2
P(x - 2) polinomunun x-1 ile bölümünden kalan kaçtır? p Örnek:
2
2
3
7 5 P(x) = ax - x - (a + 2)x - 1 polinomu x + 1 ile tam bölün-
A) -4 B) − C) -3 D) − E) -2
2 2 düğüne göre a değeri kaçtır?
A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2
˜ Çözük:
P(x − 2 2) = (x 1).B(x) K ˜ Çözük:
−
+
−=
x 1 0 ⇒ x 1için x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 polinomda yerine yazılır ve polinom
=
2
2
P( 1) K x +1’e tam bölündüğü için kalan 0 (sıfır)’a eşitlenir.
−=
2
1 EDİTÖR 3 2 2 2
3
2
−
−= −
K = P( 1) ( 1) − ( 1) − 2 P(x) = ax − x − (a 2)x 1 ax.x+ − = − x − (a 2)x 1+ −
2 K(x) = ax.( 1) ( 1) (a 2)x 1−− −− + − = − ax 1 (a 2)x 1+ − + −
7
K = − = ( a a 2)x− − − = ( 2a 2)x− −
2
K(x) = 0 'd r. O halde ( 2a 2)x−ý − = 0 ⇒ − 2a 2− = 0
Doğru cevap B seçeneğidir. ⇒ − 2a = 2 ⇒ a =− 1
olur.
p Örnek: Doğru cevap B seçeneğidir.
2
P(x)=ax -bx-3 polinomunun çarpanlarından biri (x-1) ise
(a-b) ifadesinin değeri kaçtır? Bnğ p(x) Poaneotueue (x-K).(x-b) ÇKğpıtı nar Böaü-
tüenre KKaKeı BuatK
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
P(x) polinomu (x-a)(x-b) ile tam bölünebiliyorsa (x-a) ve
(x-b) çarpanlarıyla da ayrı ayrı bölünebilir.
˜ Çözük: P(x) polinomunun (x-a) ile bölümünden kalan P(a), (x-b)
(x-1), P(x) polinomunun çarpanlarından biri olduğundan ile bölümünden kalan P(b) olmak üzere, P(x) polinomu-
P(x)’in (x-1) ile bölümünden kalan 0’dır. nun (x-a).(x-b) ile bölümünden kalan polinom en fazla bi-
P(x)=(x-1).B(x) olur. x - 1 = 0 ⇒ x = 1 değeri için rinci dereceden polinomdur. Buna göre K(x) polinomunu
P(1)=0’dır. K(x)=cx+d şeklinde yazabiliriz.
2
P(1)=a.1 -b.1-3=0 O zaman
⇒ a - b - 3 = 0 P(x)=(x-a)(x-b).B(x)+K(x)
a - b = 3 olarak bulunur. P(x)=(x-a)(x-b).B(x)+cx+d olur. Burada sırayla x-a=0 ve
Doğru cevap D seçeneğidir. x-b=0 yazılarak K(x)=cx+d polinomu bulunur.