Page 74 - 10_Matematik_ogretmenin

ÜNİTE
4 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ ˜ Çözük:
DENKLEMLER x -4x+3 polinomunu tam kare ifade haline getirelim
2
2
HKğrztn x − 4x 3 1 1 0+ + − =
2
Matematik tarihinin en önemli bilim adamı olarak tanımlana- x − 4x + 4 1 0−=

bilir. Çünkü cebir ve algoritmanın kurucusudur. Aynı zamanda (x 2 ) −=
2
−
10
astronomi ve coğrafya ile de ilgilenmiştir. 2
−
Harezmi'nin ilk eserlerinden biri aritmetik alandadır. (x2 ) = 1
"Hint Rakamları Hakkında" adlı kitabında on rakamlı konum- Her iki tarafın karekökünü alalım.
sal Hint rakamlama ve hesaplama sistemini anlatmıştır. İkinci x −=2 1 x −= −2 1
=
dereceden denklemlerin çözüm sistemleriyle Cebirin babası x = 3 x1 Ç={1,3}
olarak bilinir.
BğKhtKgupeK X X… ÖÖğretrene KKartnenre
Hintli matematikçi ve gök bilimci Brahmagupta'nın sıfır sa- x ve x reel sayı olmak üzere, ax +bx+c=0 denkleminin
2
2
1
yısını bulan kişi olduğu düşünülmektedir. Sıfırın toplama, kökleri x ve x olsun. x ve x köklerinin her ikisi birden
1
2
1
2
çarpma ve çıkarma işlemine etkisini açıklamıştır. Bunun YAYINEVİ
bu denklemi sağlar.
yanında denklem çözümleri, karekök bulmak için algoritma Örnek:
oluşturma ile ilgilendi. p
Abdülhamit İbn Türk adlı müslüman ve Türk matematikçi m,n∈ olmak üzere, 3

2
ikinci dereceden denklem çözümlerini daha ayrıntılı olarak mx -x+n=0 denkleminin kökleri 2 ve − 2 olduğuna göre
EDİTÖR
vermiştir. Ayrıca ilk cebir kitaplarından birini yazdığı bilin- m+n değeri kaçtır?
mektedir. ˜ Çözük:
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ 2 ve - 3 kökleri bu denklemi sağlar.
DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ 2
2
a,b ve c reel sayı (a ≠ 0) olmak üzere, ax +bx+c=0 şeklinde-
−+
ki ifadelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. x = 2 ⇒ 4m 2 n = 0 − 4 / 4m n+= 2
1
+=
Bu denklemi sağlayan x gerçek sayılarına denklemin kökle- 4m n 2 9m 4n+ = − 6
ri, köklerin oluşturduğu kümeye de denklemin çözüm küme- x = − 3 ⇒ 9 m + 3 += 0 − 16m 4n− = − 8
n
2
si denir. Buradaki a,b,c sayıları denklemin parametreleridir. 2 4 2 + 9m 4n+ = − 6
9 mn 3 − 7m = − 14
+= −
p Örnek: 4 2 m = 2 ⇔ n = − 6
2
2x -3x+5=0 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- 9m 4n+ = − 6 m n+ = 2 ( 6)+− = − 4
lemdir. a=2, b=-3, c=5’tir.
İknecn Drğrcrnre Bnğ Bnanetryrean Drekartarğne İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ
Kökarğn vr Çözüt Kütrarğn DENKLEMİN DİSKRİMİNANT YARDIMIYLA
KÖKLERİNİ BULMA
p Örnek: 2
İkinci dereceden ax +bx+c=0 denkleminin kökleri;
2
x - 8x - 20 = 0 denkleminin köklerini ve çözüm kümesini −+ b − 4ac −− b − 4ac
2
2
b
b
bulalım. x = 2a ve x = 2a 'dýr.
2
1
˜ Çözük:
2
Burada b -4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve ∆
2
2
x -8x-20=0 denkleminin köklerini bulmak için x -8x-20 poli- (Delta) ile gösterilir.
nomunu çarpanlarına ayıralım.
2
x - 8x - 20 = 0 (x+2)(x-10)=0 bulunur. ► ∆>0 ise denklemin iki farklı reel kökü vardır.
Burada ya x+2=0 ya da x-10=0 dır. ► ∆=0 ise denklemin birbirine eşit iki reel kökü vardır.
x + 2 = 0 ⇒ x = - 2
x - 10 = 0 ⇒ x = 10 x = x = − b
Çözüm Kümesi Ç={-2,10} 1 2 2a
p Örnek: ► ∆<0 ise denklemin reel kökü yoktur. Denklemin ’deki
2
x -4x+3=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. çözüm kümesi boş kümedir.