Page 76 - 10_Matematik_ogretmenin

74 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

X X… ÖÖğretrene KKartnenre p Örnek:
2
x + 2x + 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
2
ax +bx+c=0 ikinci dereceden bir denklem olmak üzere, Çözük:
► a+b+c=0 ise Ç= 1,    c  dır. ˜
 a  Denklemin çözümünü diskriminant ve tam kare yardımıyla
► a+c=0 ise Ç= −−    1, c  dır. ayrı ayrı bulalım.
 a  I. Yol:
► a.c < 0 ve b=0 ise denklemin kökleri simetriktir. x + 2x 3+ = 0 ⇒ ∆ = 2 − 4.1.3
2
2
(x = − x ) (iki kare farkı) ∆= 4 12−
1
2
2
► ax +bx+c=0 ∆= − 8 olur.
2
2
kx +mx+n=0 −− − 8 −− 4. ( ) 2− −− 2
2
22 −
1
denklemlerinin kökleri aynı ise a = b = c dir. x = 2.1 = 2 = 2
k m n −− 1 −−
2 2 2. −
2 2 2.i
1
= = = −− 2i
2 2
p Örnek: −+ − 8 −+
2
2 2 2i
1
2
2
(3a-2)x +(a-2)x-4a-1=0 denkleminin kökleri simetrik kök x = 2.1 = 2 = −+ 2i
olduğuna göre denklemin çözüm kümesini bulunuz. Ç.K={ 1−− 2i, 1−+ 2i } olur.
˜ Çözük: II. Yol:
2
2
0
+
+
x +
2x 3 =
x +
+
2x 1 2 =
Denklemin simetrik iki kökünün olması için YAYINEVİ
+
+
a - 2 = 0 ⇒ a = 2 olmalıdır. ⇒ (x 1 + ) 2 2 = 0 ⇒ (x 1 = ) 2 − 2 olur.

+=
+= −
4x −= 0 ⇒ x1 2 ve x1 − − 2
9
2
(2x 3)(2x 3)− + = 0 ↓
↓ ↓
21 ve x = − − −
3 3  33 x = − − 21
x = x = − ⇒ Ç = −  , 
−
1
−
2 2 2  2 2  x = 2i 1 ve x = − 2i 1olur.
KARMAŞIK SAYILAR 2i − } 1 'dir.
EDİTÖR Ç.K = { 2i 1,− −
2
ax + bx + c = 0 denkleminde ∆ < 0 ise reel çözüm yoktur. X X… ÖÖğretrene KKartnenre
Bu durum, ∆ < 0 halinde denklemlerin çözüm kümesini i = − sanal biriminin kuvvetleri;
1
bulabileceğimiz yeni bir sayı kümesi tanımlama gereğini i = i, i = -1, i = -i ve i = 1'dir.
4
3
2
1
ortaya çıkarmıştır. Reel sayılar kümesinin genişletilmesi Buradan k ∈ olmak üzere
sonucu olarak karmaşık sayılar kümesi ortaya çıkar. i = i = 1
o
4k
2
► x + 1 = 0 denkleminin çözümünü araştıralım. i 4k+1 = i = i
1
2
2
x + 1 = 0 ise x = –1 olur. i 4k+2 = i = -1
2
1
3
Buradan x = − 1 ve x = −− olur. i 4k+3 = i = -i olur.
2
1
ò-1 sayısı reel olmayan, reel sayılar kümesinde tanımla-
2
namayan bir sayıdır. İşte x + 1 = 0 denkleminin çözümü p Örnek:
81
58
75
olan ò-1 sayısını yeni bir ifade olarak tanımlayarak "i" sa- i , i , i sayılarının eşitlerini bulalım.
nal sayı birimi adını vereceğiz. ˜ Çözük:
75
72 3
2
2
.i = 1.i = -i
x + 1 = 0 ⇒ x = –1 ⇒ x = i ve x = –i olur. i = i .i = i 4.18 3 3
1
2
80 1
81
.i = 1.i = i
"İşte bu tür sayılardan oluşan kümeye karmaşık sayılar i = i .i = i 4.20 1
58
2
2
56 2
kümesi adını vereceğiz." i = i .i = i 4.14 .i = 1.i = -1 olur.
p Örnek:
Bnğ KKğtKşık SKyıeıe K+nb (K, b ∈ R) Bnçntnenr
− 4, − 9, − 16 sayılarının eşitlerini bulalım. İfKnr Ennatrsn
˜ Çözük: a,b∈ ve i = − 1 olmak üzere a + bi biçimindeki sayılara
4
−= ( ) 1 .4− = − 1. 4 = 2i karmaşık sayılar denir. Bir karmaşık sayı genel olarak

i 2 z = a + bi şeklinde gösterilir. Karmaşık sayılar kümesi diğer
− 9 = ( ) 1 .9− = 1 3i= adıyla kompleks sayılar kümesidir ve ile gösterilir.
9. −
3 i a bi, a,b+ ∈ −
− 16 = 16. ( ) 1− = 1 4i olur.= = { z : z = , i = } 1 şeklinde tanımlanan
16. −
4 i kümeye kompleks (karmaşık) sayılar kümesi adı verilir.