Page 12 - 9_Matematik_ogretmenin

10 MANTIK

HER (∀) VE BAZI () NİCELEYİCİLERİ p Örnek:

Açık Önerme: Doğruluğu içindeki değişkene bağlı olan Verilen p ve q önermeleriyle aşağıdaki diyagram hazırla-
önermelere açık önerme denir. nıyor.
Açık önermelerin içinde birden fazla değişken bulunabilir.
x değişkenine bağlı p önermesi p(x) şeklinde gösterilir.
p önermesinin doğruluk değeri x yerine yazılan ifadeye göre
1
p: ñ7 + ñ2 = ñ9 q: - < - 1
değişebilir. 2 4
p Örnek:
p(x): “x, Türkiye’ye komşu olan ülkedir.”
Bu önermenin doğruluğu x’e bağlıdır. (p' ∨ q) ∧ (q' ∨ p)
x yerine Gürcistan yazarsak,
p(Gürcistan) = Gürcistan, Türkiye’ye komşu olan ülkedir.
x yerine Hırvatistan yazarsak, Sonuç 1 Sonuç 0
p(Hırvatistan) = Hırvatistan, Türkiye’ye komşu olan ülkedir.
Şimdi bu ifadelerin doğruluğunu kontrol edelim.
p(Gürcistan) ≡ 1, p(Hırvatistan) ≡ 0 olur. (p ⇒ q) ∧ (p  q) (p ∧ q) ⇔ (q' ∨ p)

Açık Önermelerin Doğruluk Kümesi YAYINEVİ
Herhangi bir evrensel kümede tanımlanmış bir p(x) açık Sonuç 1 Sonuç 0 Sonuç 1 Sonuç 0
A kapısı B kapısı C kapısı D kapısı
önermesinin doğruluğunu sağlayan küme, bu açık önerme-
nin çözüm kümesi yani doğruluk kümesidir. Doğruluk küme-
sinden alınan her eleman p(x) açık önermesini sağlar. Buna göre diyagramı doğru çözen biri hangi kapıdan çıkar?
p Örnek:
˜ özüm:
A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde p(x): 3x - 1 < 7 açık öner-
mesinin doğruluk kümesini bulunuz. p: ñ7 + ñ2 = ñ9 ise; p ≡ 0
1
1
˜ özüm: q: - < - ise; q ≡ 1'dir.
2
4
3x - 1 < 7 ⇒ 3x < 8 EDİTÖR (p' ∨ q) ∧ (q' ∨ p) ≡ (0' ∨ 1) ∧ (1' ∨ 0)
8
x < ≡ 1 ∧ 0 ≡ 0 Sonuç 0
3
x < 2, 6 ... (p ∧ q) ⇔ (q' ∨ p) ≡ (0 ∧ 1) ⇔ (1' ∨ 0)
↓ ≡ 0 ⇔ 0
...-2, -1, 0, 1, 2 ≡ 1 Sonuç 1
A kümesindeki 0, 1 ve 2 p(x) önermesinin doğruluk küme- C kapısı olur.
sini oluşturur.
A = {0, 1, 2} Niceleyiciler
Doğruluk kümelerini oluşturan elemanların çokluğunu be-
p Örnek:
lirtmek için “Her ( )∀ ” ve “Bazı ()∃ ” gibi ifadeler kullanılır.
P(x,y): "x - y = 6 ve x, y rakam" açık önermesinin doğruluk
kümesini bulunuz. Varlıkların miktarını belirten bu ifadelere niceleyici denir.

˜ özüm: Her ( ∀ ): (Evrensel Niceleyici)
Rakamlar: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Bir A tanım kümesiyle p açık önermesi verilsin.
P(x,y): x - y = 6 için ikili seçelim. “Her x için p(x) ifadesine evrensel niceleyici denir.”
x = 9 ve y = 3 için (9,3) Bu ifade ∀ x, p(x) şeklinde gösterilir.
x = 8 ve y = 2 için (8,2) Eğer Her x ∈A için p(x) doğru oluyorsa x∈A için p(x) doğ-
x = 7 ve y = 1 için (7,1)
x = 6 ve y = 0 için (6,0) rudur. “ ∀ x, p(x) doğrudur.”
Ç = {(9,3), (8,2), (7,1), (6,0)} olur. Bu ifade “Her x için p(x) doğrudur.” şeklinde okunur.