Page 101 - 10. SINIF VIP TÜM DERSLER KONU ANLATIMLI - EDİTÖR YAYINLARI
P. 101

KARMAŞIK SA
            KARMAŞIK SAYILARYILAR                                                           4. ÜNITE   101
                                                                                 2
            Sanal Sayı: Karesi -1 olan  sayıya sanal (imajiner) sayı birimi denir ve i ile gösterilir. i  = -1 veya i = ò-1  ile gösterilir.
                                        2
                     2
            Örneğin; x  + 1 = 0 denkleminde x  = -1 olup gerçek sayılar kümesinde karesi -1'e eşit olan bir sayı bulunmadığından
             2
            x  + 1 = 0 denkleminin gerçek sayılar kümesindeki çözüm kümesi boş kümedir.

            ̛    Örnek: Aşağıdaki tabloda verilen karmaşık sayıların eşitlerini yazalım.
                   •   − 4 =  4 ( 1)⋅− =  4 ⋅ − =  2 i      •   − 100 =  100 ( 1)⋅−  =  100 ⋅ − 1 10 i=
                                        1

                   •   − 225 =  225( 1)−  =  225 ⋅ − 1 15 i=  •   − 144 =  144( 1)−  =  144 ⋅ − 1 12 i=
       EDİTÖR YAYINLARI


                             2
            Karmaşık sayılar: i  = -1 ve a, b ∈ R olmak üzere, a+ bi biçiminde ifade edilen sayılara karmaşık (kompleks) sayı
            denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
            C = {Z| Z = a + bi ve a, b ∈ R, i = ò-1}
            Z = a + bi yazılışına karmaşık sayının standart yazılışı denir.
                                                      z = a + bi
                    Karmaşık sayının reel (gerçek) kıs-               Karmaşık  sayının  sanal  (imajiner)
                    mı denir ve Re(z) = a ile gösterilir.             kısmı denir ve Im(z) = b ile gösterilir.

            ̛    Örnek: Aşağıdaki tabloda karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımları belirtilmiştir. Inceleyiniz.

                          3 + 4 i                      Re(z) = 3                       Im(z) = 4
                           7i                          Re(z) = 0                       Im(z) = 7
                         2 + ñ3                      Re(z) = 2 + ñ3                    Im(z) = 0

            i'nin (Sanal Birimin) Kuvvetleri: i = ò-1 sayısına sanal sayı birimi denir. i sanal sayı biriminin kuvvetleri

                                                                                  4
                                                                                     2
                                                                                       2
                          0
                                                         2
                          i  = 1                         i  = -1                 i  = i  . i  = (-1) (-1) = 1
                                                    3
                                                                                     2
                                                                                  5
                                                       2
                                                                                       3
                          1
                         i  = ò-1                  i  = i  . i = (-1) . i = -i    i  = i  . i  = (-1) (-i) = i
             {   i'nin ardışık kuvvetleri, i, -1, -i, 1 dörtlüsünü tekrarlar. Yani;
                1
                                                                       4
                                                    3
                                 2
             •  i  = i         •  i  = -1        •  i  = -i        •  i  = 1     aynı şekilde
                                                        .
                                     .
                                    4
                                                    7
                                                       4 3
                                      2
                                                                       8
                5
                                 6
                   4
             •  i  = (i ) i = i     •  i  = i    i  = -1     •  i  = i  i  = -i     •  i  = 1 diye devam eder.
            ̛    Örnek: Aşağıdaki sayıların her birinin eşitini bulalım.
                  22
                  i  = ?     22'nin 4 ile bölümünden kalan 2'dir.  i 22  =  ( ) ⋅ 4  5  i =  2  1i⋅  2  =  −  1
                                                               i
                             -30'a 4'ün katı olan 30'dan büyük en küçük pozitif tam sayı olan 32'yi ekleyelim.
                 i -30  = ?
                                          2
                             i -30  = i -30 + (32)  = i  = -1
            ̛    Örnek: Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulalım.
                                                              2
                     2
                                   2
               − 18 ⋅− =  ?  − 18 ⋅− = − 1⋅  18 ⋅− 1⋅  2 =  i i 36⋅  =  i ⋅ = − 6
                                                                6
              4
                                              2
                               5
                                  6
                                     7
                 5
                    6
                            4
                                                 3
             i  + i  + i  + i 7  i  + i  + i  + i  = 1 + i + i  + i  = 1 + i + (-1) + (-i) = 0 (i'ın ardışık 4 kuvvetinin toplamı 0 (sıfırdır.))
              1 +  1  +  1  =  ?  1 +  1  +  1  = i −  1  i +  −  2  i +  −  3  =  i +  i + = − i ( 1) i+ − + = − 1
                                                   2
                                                3
                                                      i
              i  i 2  i 3   i  i 2  i 3
   96   97   98   99   100   101   102   103   104   105   106