Page 101 - 10. SINIF VIP TÜM DERSLER KONU ANLATIMLI - EDİTÖR YAYINLARI
P. 101
KARMAŞIK SA
KARMAŞIK SAYILARYILAR 4. ÜNITE 101
2
Sanal Sayı: Karesi -1 olan sayıya sanal (imajiner) sayı birimi denir ve i ile gösterilir. i = -1 veya i = ò-1 ile gösterilir.
2
2
Örneğin; x + 1 = 0 denkleminde x = -1 olup gerçek sayılar kümesinde karesi -1'e eşit olan bir sayı bulunmadığından
2
x + 1 = 0 denkleminin gerçek sayılar kümesindeki çözüm kümesi boş kümedir.
̛ Örnek: Aşağıdaki tabloda verilen karmaşık sayıların eşitlerini yazalım.
• − 4 = 4 ( 1)⋅− = 4 ⋅ − = 2 i • − 100 = 100 ( 1)⋅− = 100 ⋅ − 1 10 i=
1
• − 225 = 225( 1)− = 225 ⋅ − 1 15 i= • − 144 = 144( 1)− = 144 ⋅ − 1 12 i=
EDİTÖR YAYINLARI
2
Karmaşık sayılar: i = -1 ve a, b ∈ R olmak üzere, a+ bi biçiminde ifade edilen sayılara karmaşık (kompleks) sayı
denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
C = {Z| Z = a + bi ve a, b ∈ R, i = ò-1}
Z = a + bi yazılışına karmaşık sayının standart yazılışı denir.
z = a + bi
Karmaşık sayının reel (gerçek) kıs- Karmaşık sayının sanal (imajiner)
mı denir ve Re(z) = a ile gösterilir. kısmı denir ve Im(z) = b ile gösterilir.
̛ Örnek: Aşağıdaki tabloda karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımları belirtilmiştir. Inceleyiniz.
3 + 4 i Re(z) = 3 Im(z) = 4
7i Re(z) = 0 Im(z) = 7
2 + ñ3 Re(z) = 2 + ñ3 Im(z) = 0
i'nin (Sanal Birimin) Kuvvetleri: i = ò-1 sayısına sanal sayı birimi denir. i sanal sayı biriminin kuvvetleri
4
2
2
0
2
i = 1 i = -1 i = i . i = (-1) (-1) = 1
3
2
5
2
3
1
i = ò-1 i = i . i = (-1) . i = -i i = i . i = (-1) (-i) = i
{ i'nin ardışık kuvvetleri, i, -1, -i, 1 dörtlüsünü tekrarlar. Yani;
1
4
3
2
• i = i • i = -1 • i = -i • i = 1 aynı şekilde
.
.
4
7
4 3
2
8
5
6
4
• i = (i ) i = i • i = i i = -1 • i = i i = -i • i = 1 diye devam eder.
̛ Örnek: Aşağıdaki sayıların her birinin eşitini bulalım.
22
i = ? 22'nin 4 ile bölümünden kalan 2'dir. i 22 = ( ) ⋅ 4 5 i = 2 1i⋅ 2 = − 1
i
-30'a 4'ün katı olan 30'dan büyük en küçük pozitif tam sayı olan 32'yi ekleyelim.
i -30 = ?
2
i -30 = i -30 + (32) = i = -1
̛ Örnek: Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulalım.
2
2
2
− 18 ⋅− = ? − 18 ⋅− = − 1⋅ 18 ⋅− 1⋅ 2 = i i 36⋅ = i ⋅ = − 6
6
4
2
5
6
7
5
6
4
3
i + i + i + i 7 i + i + i + i = 1 + i + i + i = 1 + i + (-1) + (-i) = 0 (i'ın ardışık 4 kuvvetinin toplamı 0 (sıfırdır.))
1 + 1 + 1 = ? 1 + 1 + 1 = i − 1 i + − 2 i + − 3 = i + i + = − i ( 1) i+ − + = − 1
2
3
i
i i 2 i 3 i i 2 i 3